プログラマに数学は必要か？

私が友人と話していた時のことです。

私：３つのパラメータがあって、それぞれが独立に２つの状態を取るから、全部の組み合わせは８個になる。
友人：え、それって６通りじゃないの？
私：（もう一度説明を繰り返す）
友人：６通りだと思うんだけどなあ...

この友人、職業は医者です。ですから、理系の入試を通って大学に入っているんですけどね.....というわけで大問題「プログラマと数学」ですね。

実は私、大学は文系で文学部心理学科卒です。元々プログラミングをし出したのは、やはり心理学の実験データ解析が名目でした（ゼミの先生の著書が因子分析の本だったりしました....）。文系とは言っても数学は大好きで、教養でも数学の単位（初等整数論からカントール濃度の話になる講義でした。面白かったし、後々役にたったことがあります）を取って、「変人」みたいに見られた思い出（苦笑）もあります....

プログラミングをするようになっても、たとえば数学ベースの技術書から、アルゴリズムを取ってきて、自分で実装した（スプライン曲線とかＦＦＴとか必要に迫られて）こともあります。そういう具合に「数学を怖がらない...」というのは非常に役にたっているようにも思います。でもそういうの、年に１回もないんじゃないかなぁ。

しかし、ちょっとしたことで、「数学センス」みたいな部分、というのは非常に「日常のプログラミング」という部分でも役立つところ、というのはあるようにも感じます。何というのでしょうか、「数理的なカン」が働くのですね。詳細なアルゴリズムの細かいところで「あ、これ情報が足りない」とか、「考え方が美しくない...」とか、かなり早いところでカンが働く、というのはあるようにも思います。また、それこそ「プログラマの教養」というか、数理的なアルゴリズムを理解する（ＲＳＡ公開鍵暗号とか）あたりでも、やはりバックグラウンドが理解できますからね。

というわけで、ちょっと雑感です....

クイズ：「どんなファイルでも、かならず元のバイト数よりも小さくなる」という圧縮方式がウソであることを説明せよ。（ヒント：マッピングの問題として考えると変換先が足りなくなりますよ...）

追記：ファイルサイズが任意の n byte より小さい場合は、サイズが変わらない（あるいは逆に大きくなるとしてさえも）、としてもホントはＯＫです。また、問題では「バイト数」としましたが、「ビット」単位で考えても結果は変わりません。